Álgebra Booleana
Digitales June 1st, 2008
El álgebra de las operaciones lógicas, es conocida en la actualidad como “Álgebra de Boole”. El álgebra booleana es un sistema algebraico cerrado, compuesto por:
- un conjunto K={0,1}
- los operadores binarios: suma booleana (+ o OR) y el producto booleano (. o AND)
- y el operador unitario complemento ( o ‘ o NOT)
El álgebra booleana es un conjunto de reglas matemáticas (similares en algunos aspectos al álgebra convencional), pero que tienen la virtud de corresponder al comportamiento de circuitos basados en dispositivos de conmutación (interruptores, relevadores, transistores, etc.).
Conjuntos y elementos (TC)
Comencemos ahora por la teoría de conjuntos. El concepto de conjunto surge de manera natural en muchas situaciones de la vida: películas de guerra, novela rosa, pescaderías… si llevamos a cabo un sencillo proceso de abstracción, veremos que podemos definir un conjunto de dos modos distintos:
- Por extensión: enumeración simple de sus elementos
- Por comprensión: definir una propiedad no ambigua y determinada.
Veamos un ejemplo:
Supongamos un conjunto que comprende los componentes del grupo musical “The Beatles”. Definiríamos tal conjunto por extensión de la siguiente manera:
S= {Paul McCartney, Jhon Lennon, George Harrison, Ringo Starr}
Definido por comprensión, el conjunto quedaría así:
S= {x/x pertenezca al grupo musical “The Beatles”}
Operaciones binarias
Una operación binaria (º) en un conjunto A es una operación tal que si a,b son elementos del conjunto A, también lo es aºb.
Por ejemplo en aritmética, ¿es la división (4) una operación binaria? Puede o no serlo, depende del conjunto que consideremos, si el conjunto considerado es J+, entonces 4 es una operación binaria. Si por el contrario, el conjunto a considerar es Z, entonces 4 no resulta ser una operación binaria.
Operaciones unitarias
Una operación unitaria (~) sobre un conjunto A es una operación tal que si a es un elemento de A, también lo es ~a.
Volvamos a la aritmética para elaborar un ejemplo. ¿Es la operación “tomar el valor negativo de” (-) una operación unitaria? Si consideramos tal operación sobre el conjunto Z+, entonces (-) no es una operación unitaria; si por el contrario la consideramos sobre todo los números enteros, Z, (-) si cumple con el requisito para ser una operación unitaria.
fuente: álgebra de boole de Javier Borge y otros textos de la web.
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